Vamos a calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos números por descomposición factorial.
Tradicionalmente todos hemos memorizado, con o mayor comprensión, el modo de obtener el mínimo común múltiplo del siguiente modo:
Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números, realizamos el siguiente proceso:
1. descomposición de esos números en factores primos.
2. Obtenemos el mínimo común múltiplo cogiendo todos los factores (comunes y no comunes), elevados a la máxima potencia. O, de otra forma: “comunes y no comunes con su mayor exponente”.
Para el máximo común divisor, el procedimiento es similar.
Para calcular máximo común divisor de dos o más números, realizamos el siguiente proceso:
3. descomposición de esos números en factores primos.
4. Obtenemos el máximo común divisor cogiendo solo los factores comunes elevados a su menor potencia. O, de otra forma: “comunes con su menor exponente”.
Este concepto que, en principio nos resulta abstracto y puramente memorístico, lo podemos entender de una forma fácil si usamos el diagrama de Venn.
Los diagramas de Venn se utilizan para representar gráficamente la relación entre conjuntos. Así, nosotros vamos a usar estos diagramas para representar las descomposiciones en factores primos de los números sobre los que queremos realizar los cálculos.
Paso inicial: realizamos las descomposiciones en factores primos de cada uno de los números sobre los que vamos a trabajar.
Paso 2:
Uilizamos el diagrama de Venn para estudiar la relación entre los números.
El círculo de la izquierda contiene todos los factores que se incluyen en la descomposición factorial de 4.
El círculo de la derecha contiene todos los factores que se incluyen en la descomposición factorial de 6.
La interección de ambos círculos contiene los factores que son comunes a 4 y 6. (no duplicamos las cantidasdes, solamente aparecen una vez).
Paso 3. Calculamos el mcm
Recordamos:Obtenemos el mínimo común múltiplo cogiendo todos los factores (comunes y no comunes), elevados a la máxima potencia. O, de otra forma: “comunes y no comunes con su mayor exponente”.
Con el diagrama de Venn, el mínimo comun múltiplo lo obtendremos multiplicando todos los factores que aparecen en él.
Paso 4. Calculamos el mcd
Recordamos: "Obtenemos el máximo común divisor cogiendo solo los factores comunes elevados a su menor potencia. O, de otra forma: “comunes con su menor exponente”.
Con el diagrama de Venn, el máximo común divisor lo obtendremos multiplicando todos los factores que aparecen en la intersección de los dos
círculos.
